你阅读这篇文章，需要具备以下前置知识：

1. 矢量加法、内积运算；
2. 三角函数的运算；
3. 积分的意义，如何对函数进行积分；
4. 什么是矩阵，矩阵的运算；
5. 复数、复平面，Euler（欧拉 1707-1783）公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi} = \cos\left( \varphi \right)+\mathrm{j}\sin\left( \varphi \right)$ ，复矢量的基本运算；
6. 对光的基本认识，明白什么是辐照度 $I = c\epsilon_0\langle \boldsymbol{E}^2 \rangle _\mathrm{T}$ ；
7. 明白什么是光的偏振，也明白各种偏振器件。

上述内容当然是懂得的越多越好，不过会对一些重要且有必要说明的概念进行简单的阐述。

引言 | Introduction

考虑一束光线，它可能是完全偏振的，或者可能是部分偏振的，又可能是完全不偏振的自然光。这样的一束光线经过某一偏振器件（诸如起偏器、推迟器、旋光物质），出射光的偏振态可能会与入射光的有所区别。

若我们能够找到一种数学方法，去规定每一种光线的偏振态是怎样的数学形式，再规定每一种偏振器件会是怎样的数学形式，并且利用这种方法，可以在给定出射光和偏振器件的条件下，很方便地求得出射光的偏振态，这正是我们想要的。

可行吗？可行。那这样的方法会是什么样子的？

我们知道，一束偏振光可以分解为若干个不同的偏振光。例如：一个 $\mathscr{R}$ 态光（右旋圆偏振，也叫右圆光），可以分解为两个正交的 $\mathscr{P}$ 态光（线偏振光），对 $\mathscr{L}$ 态光（左旋圆偏振，也叫左圆光）同样可以这样子分解。又例如：一个左旋 $\mathscr{E}$ 态光（左旋椭圆光，即电场随相位变化，画的是椭圆），可以分解为一个 $\mathscr{L}$ 态光，与平行于椭圆长轴的 $\mathscr{P}$ 态光，如 图1 所示。

只要我们能够把任意偏振态的一束光分解为分偏振态之和，这些分偏振态又可以表示成一组数字。把这些数字写成一个矢量，则矢量中的每个元素都说明了这束光的分偏振态会是如何，自然就能表示这束光的偏振态了。

接下来考虑偏振器件。一束偏振光（也就是一个包含分偏振信息的矢量），经过某一偏振器件，出射光的偏振矢量与入射光的不同。对于这样的物理现象，很自然的想法是把这些偏振器件写作一个矩阵（例如矩阵 $\boldsymbol{M}$ ）。

防止读者不知道，需要对线性变换进行说明。一个矩阵对应着一个线性变换（保持原点位置固定，空间的旋转、拉伸，诸如此类）。原线性空间中的一个矢量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，左乘一个矩阵 $\boldsymbol{M}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}^{\prime} = \boldsymbol{M\alpha}$ 可以理解为：该矢量 $\boldsymbol{\alpha}$ “跟着” 原线性空间作线性变换，则 “跟着” 作完线性变换后的矢量，落在最开始的原线性空间的何处。“何处” 可以用 $\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$ 来表示。亦即矩阵中的每一个元素与矢量的每一个分量相互作用（矩阵乘法运算），构建出新的矢量。也就是说，矢量 $\boldsymbol{\alpha}$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{M}$ ，矢量改变了。

如 图2(a) 所示，现在二维直角坐标系内有一矢量 $\langle 1,2 \rangle$ ，且 $\hat{\boldsymbol\imath} = \langle 1,0 \rangle ,\hat{\boldsymbol\jmath} = \langle 0,1 \rangle$ 分别是 $x$ 方向和 $y$ 方向的单位矢量（二维空间的基）。如今，我们把这个空间拉伸、旋转，使得原空间变形，原来的 $\hat{\boldsymbol\imath}$ 变成了 $\hat{\boldsymbol\imath} = \langle 3,-2 \rangle$ ，原来的 $\hat{\boldsymbol\jmath}$ 变成了 $\hat{\boldsymbol\jmath} = \langle 1,3 \rangle$ ，则矢量 $\langle 1,2 \rangle$ 会 “跟着” 转移到 $\langle 5,4 \rangle$ ，如 图2(b)(c) 所示。

若我们把 $\langle 1,2 \rangle$ 转移到 $\langle 5,4 \rangle$ 的过程，看成是 $1$ 倍的 $\hat{\boldsymbol\imath}$ 与 $2$ 倍的 $\hat{\boldsymbol\jmath}$ 相加，如 图2(b) 所示，即

注意等式的右面可以写成矩阵乘积的形式，即

矩阵的第一列和第二列正是经过线性变换后的基。这样一来，便可以通过一个线性变换 $\boldsymbol{M}$ ，来改变矢量 $\boldsymbol{\alpha}$ 。

对于一束用矢量表示的偏振光来说，左乘一个矩阵 $\boldsymbol{M}$ ，变成了新的矢量，即新的偏振态，则这个矩阵 $\boldsymbol{M}$ 正是描述这是何种偏振器件，这是偏振器件的固有性质。一个偏振器件，对应一个线性变换，这是很聪明的做法。记住，一个矢量也是一个矩阵，只不过是单行（或者单列）的 “长条形” 的矩阵罢了。

接下来的矩阵处理方法来自于爱尔兰物理学家 Stokes（斯托克斯 1819—1903）爵士、美国物理学家 Jones（琼斯 1916-2004），和瑞士物理学家 Mueller（缪勒 1900–1965）做出的贡献。这种方法无非就是矩阵乘法这类简单的数学运算，所以使用起来非常简单。顺带说一句，Mueller 在 1943 年发明 Mueller 矩阵时正担任美国 MIT 教授。

Stokes 矢量与 Mueller 矩阵

Stokes 矢量

对偏振光的数学处理方法最开始起源于 Stokes 爵士的工作，他引入了四个辐照度参量 $\mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$ ，叫做 Stokes 参量，并将其组合成一个四维矢量 $\langle \mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3 \rangle$ ，来描述一束光线的偏振态。其实 Stokes 参量在不同文献下，符号体系相当混乱：有用 $I,M,C,S$ 的，也有用 $I,Q,U,V$ 的，不过本文将使用 $\mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$ 。我们先在开头给出 Stokes 参量的定义，后面将对其进行说明。

Stokes 参量

令一束辐照度为 $2I_0$ 的光分别通过以下四个滤光面与入射光线垂直的滤光片：

1. 各向同性的滤光片，若一束任意偏振态的光线通过，每个分偏振态的辐照度都被各向同性地吸收一半；
2. 透光轴为水平的线起偏器；
3. 透光轴位于一、三象限，与水平 $x$ 轴夹角呈 $+45^\circ$ 的线起偏器；
4. 圆偏振器，对 $\mathscr{R}$ 态透明，对 $\mathscr{L}$ 态不透明。

在每个偏振器件后面放置一个探测器，测量透过的辐照度，分别为 $I_0,I_1,I_2,I_3$ ，则 Stokes 参量定义为

每一个 $\mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$ 都规定了入射光的偏振态。$\mathcal{S}_0$ 是入射的总辐照度。$\mathcal{S}_1>0$ 说明入射光更接近水平的 $\mathscr{P}$ 态，反之 $\mathcal{S}_1>0$ 则说明更接近竖直的 $\mathscr{P}$ 态；$\mathcal{S}_2>0$ 说明入射光更接近 $+45^\circ$ 的 $\mathscr{P}$ 态，反之 $\mathcal{S}_2>0$ 则说明更接近 $-45^\circ$ 的 $\mathscr{P}$ 态；$\mathcal{S}_3>0$ 说明入射光更接近 $\mathscr{R}$ 态，反之 $\mathcal{S}_3>0$ 则说明更接近 $\mathscr{L}$ 态。Stokes 矢量 $\langle \mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3 \rangle$ 可以完全描述一束光的偏振态，并且 Stokes 矢量更常用列矢量的形式。

需要注意的是，以上四个滤光片的取法并不唯一，只不过 Stokes 本人是这样处理的。

对 Stokes 参量的说明

这里笔者忍不住抱怨一句，很多文献没能把这段内容讲清楚，导致包括我在内的很多人在学习的过程中晕头转向，对 Stokes 参量的由来模糊不清，因此在这里会尽我所能讲解得详细一些。

考虑一束部分水平偏振光，可以将其分解为一个自然光 $\mathscr{N}$ 和水平的 $\mathscr{P}$ 态偏振光，这二者贡献的辐照度分别为 $I_\mathscr{N}$ 和 $I_\mathscr{P}$ ，如 图3 所示。

对于 $\mathcal{S}_0 = 2I_0$ 理解起来应该不难。很直观，因为 1 号偏振器件是各向同性的，所以对任何的偏振态直接吸收掉一半的光，$2I_0$ 中的 $2$ 正是这个意思，如 图 3(a) 所示。因此我们可以写出 $I_0$ 的表达式

接下来考虑 $\mathcal{S}_1 = 2I_1-2I_0$ 。前面说过，$2I_0$ 是入射光的总辐照度。仔细想想，1 号滤光片把所有偏振态的光线都吸收了一半，此时探测器探测到 $I_0$ 。如果现在把 1 号滤光片换成 2 号水平线偏振片，原本被 1 号滤光片吸收的 $\mathscr{P}$ 态光现在可全部透过。竖直方向的 $\mathscr{N}$ 光被全部吸收，水平方向的 $\mathscr{N}$ 光全部透过，故 $\mathscr{N}$ 光的辐照度依旧被吸收一半，如 图 3(b) 所示。此时探测器探测到的 $I_1$ 为

将 $I_1$ 和 $I_0$ 作差乘以 $2$ ，并由 式3 可知

这正是入射光辐照度中，水平偏振的部分，这也正是 Stokes 参量中第二项 $\mathcal{S}_1$ 的意义。记住，此时 $\mathcal{S}_1>0$ 。

反之，若入射的部分偏振光更接近竖直 $\mathscr{P}$ 态，也就是说此时 $\mathscr{P}$ 态分量在竖直方向，此时用同样的方法作图，不难得到 Stokes 参量的第二项为 $\mathcal{S}_1 = -I_\mathscr{P}$ ，这依旧是描述入射光的偏振态如何的参量，只不过入射光在更接近竖直偏振的情况下，$\mathcal{S}_1<0$ 。因此可以想象，如果同时含有水平和竖直偏振的成分，则 $\mathcal{S}_1$ 应该是水平偏振辐照度和竖直偏振辐照度作差。

同样的道理，其余两个 Stokes 参量 $\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$ 也可以如此来表示，无非就是把中间的滤光器换成另外两种。即更接近 $+45^\circ$ 偏振时，$\mathcal{S}_3>0$ ，反之，更接近 $-45^\circ$ 偏振时，$\mathcal{S}_3<0$ ；更接近 $\mathscr{R}$ 态光时，$\mathcal{S}_4>0$ ，反之，更接近 $\mathscr{L}$ 态光时，$\mathcal{S}_4<0$ 。至此 Stokes 参量的意义解释完毕。

单色光的 Stokes 参量

若入射光是准单色的，并且沿 $z$ 轴传播，则可以写出准单色光在 $x$ 和 $y$ 方向的电场分量

其中，$\bar{k}$ 与 $\bar{\omega}$ 是在宏观尺度的空间和时间内，$k$ 与 $\omega$的平均值，$\varepsilon_x\left(t\right)$ 与 $\varepsilon_y\left(t\right)$ 分别是 $x$ 方向与 $y$ 方向电场的初相。合电场为 $\boldsymbol{E}\left( t \right) = \boldsymbol{E}_x\left( t \right)+\boldsymbol{E}_y\left( t \right)$ 。注意此处并不像 图 3(b) 那样，只包含水平方向偏振的成分，而是包含各个方向的偏振成分。

有必要说明的是，对于任何光，$\left( \bar{k}z-\bar{\omega}t \right)$ 相对于 $E_x\left( t \right),E_y\left( t \right)$ 和 $\varepsilon_x\left( t \right),\varepsilon_y\left( t \right)$ 来说，变化都是相当迅速的，这是因为放出光子的原子从激发态跃迁回基态的时间十分短暂，量级大约在 $10^{-9}\mathrm{s}$ 。这些原子在每 $10^{-9}\mathrm{s}$ 量级内重复这段跃迁，源源不断地释放出光子，一束实实在在的光才能在宏观尺度上被观测到。如果是一束自然光，则只有在 $10^{-9}\mathrm{s}$ 量级内才能维持非常短暂的偏振态，超过这段时间范围，就不能辨识出这束光到底处于何种偏振态，因此自然光的电场是迅速变化且杂乱无章的。

由于此处考虑准单色光，准单色光又可以被认为是完全偏振的。其实，一个理想的单色平面波总是完全偏振的，因为单色性，这束光电场在每个方向上的分量时间周期和空间周期都相同。

下面将推导 Stokes 参量（ 式3 ）在准单色偏振光下，用电场表示的形式，然后用 Poincare（庞加莱 1854-1912）球法给出 Stokes 参量的另一种形式。

推导

一束光的辐照度是 Poynting（坡印廷 1852-1914）矢量对时间的平均值，即 $I = \langle S \rangle _\mathrm{T} = c\epsilon_0\langle \boldsymbol{E}^2 \rangle _\mathrm{T}$ 。注意这段求平均的时间 $T$ 要远远大于这束光的时间周期 $\tau$ 。利用 $\boldsymbol{E}\left( t \right) = \boldsymbol{E}_x\left( t \right)+\boldsymbol{E}_y\left( t \right)$ ，有

现在我们考虑其中的 $\langle \boldsymbol{E}_x^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}$ 和 $\langle \boldsymbol{E}_y^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}$ ，由于 $\boldsymbol{E}_x\left( t \right)$ 和 $\boldsymbol{E}_y\left( t \right)$ 在形式上相同（ 式7 ），所以我们只考虑其中的一个即可。

对于 $\langle \boldsymbol{E}_x^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}$ ，有

因此它对时间的平均 $\langle \boldsymbol{E}_x^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}$ 为

前面我们提到过，$\left( \bar{k}z-\bar{\omega}t \right)$ 相对于 $E_x\left( t \right),E_y\left( t \right)$ 和 $\varepsilon_x\left( t \right),\varepsilon_y\left( t \right)$ 来说，变化相当迅速。也就是说，式10 中振幅的平方 $E_{0x}^2\left( t \right)$ 相对于 $\cos^2$ 项来说变化得十分缓慢，因此在宏观尺度下的时间 $T$ 内，我们可以直接将 $E_{0x}^2\left( t \right)$ 对时间的平均值 $\langle E_{0x}^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}$ 移出到积分号外，式10 就变成了 $\langle E_{0x}^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}$ 与 $\cos^2$ 项对时间的平均的乘积，即

其中 $\cos^2$ 项对时间的平均为 $1/2$ 。至于 $1/2$ 是怎么来的，这属于数学问题，在研究偏振光的文章下解释其实有点浪费口舌了，便略去了。因此 $\langle \boldsymbol{E}_x^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T} = \langle E_{0x}^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}/2$ 。同理，对 $\boldsymbol{E}_y\left( t \right)$ 也是如此，即 $\langle \boldsymbol{E}_y^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T} = \langle E_{0y}^2\left( t \right) \rangle _\mathrm{T}/2$ 。将其代入 式8 ，则辐照度可改写为

我们只关心电场对辐照度的影响，因此不太严谨却合情合理地略去因子 $c\epsilon_0/2$ ，则进一步改写后的辐照度为

我们规定这是入射光的辐照度 $2I_0$ 。此处将 $\left( t \right)$ 略去了，因为显得有些杂乱。这样一来，由 式3 得到 Stokes 参量的第一项 $\mathcal{S}_0$ 为

接下来推导 Stokes 参量的第二项 $\mathcal{S}_1$ 。之前提到过，$I_1 = I_\mathscr{N}/2 + I_\mathscr{P}$（ 式5 ），即 $\mathscr{N}$ 光的一半辐照度和 $\mathscr{P}$ 光的辐照度之和，此处考虑准单色光，因此 $I_\mathscr{N} = 0$ ，故 $I_1 = I_\mathscr{P}$ ，此处只有水平电场的平均值 $\langle E_{0x}^2 \rangle _\mathrm{T}$ 对辐照度 $I_\mathscr{P}$ 做出了贡献，竖直电场 $\langle E_{0y}^2 \rangle _\mathrm{T}$ 则完全不通过。由 式13 得透射的辐照度 $I_1$ 为

将它与 式3 和 式13 联立，Stokes 参量的第二项 $\mathcal{S}_1$ 即为所求

然后考虑 Stokes 参量的第三项 $\mathcal{S}_2$ ，也就是准单色光经过透光轴位于 $x$ 轴上方 $+45^\circ$ 线偏振器的情况。此时透过去的辐照度为

其中，$E_{045}$ 是 $+45^\circ$ 方向电场 $\boldsymbol{E}_{45}$ 的振幅。$\boldsymbol{E}_{45}$ 是 式7 中 $\boldsymbol{E}_{x}$ 和 $\boldsymbol{E}_y$ 在 $+45^\circ$ 方向电场分量之和，即

且由 式7 得 $\left( E_x+E_y \right)$ 为

其中，$\varepsilon = \varepsilon_y-\varepsilon_x,\ \displaystyle\alpha = \arctan\left( \frac{E_{0x}\sin\left( \varepsilon _x \right)+E_{0y}\sin\left( \varepsilon_y \right)}{E_{0x}\cos\left( \varepsilon_x \right)+E_{0y}\cos\left( \varepsilon_y \right)} \right)$ 。式19 的推导过程在这里就略去了，读者可以参阅几乎任何与相矢量的合成相关的物理文献。将 式19 代入 式18 ，得

因此 $\boldsymbol{E}_{45}$ 的振幅 $E_{045}$ 为

不要忘了我们在干什么，我们想要得到透过 3 号偏振片的辐照度。将 式21 代入 式17 ，得

将它与 式3 和 式13 联立，Stokes 参量的第三项 $\mathcal{S}_2$ 即为所求

最后考虑 $\mathcal{S}_3$ ，也就是通过 4 号滤光片的情况。我们还记得，4 号滤光片对 $\mathscr{R}$ 态光透明，但对 $\mathscr{L}$ 态光不透明，这可以看成一个四分之一波片与透光轴在 $+45^\circ$ 的线起偏器的组合，此处将对其进行具体说明。

如 图4 所示，方形元件为四分之一波片，圆形元件为 $+45^\circ$ 线偏振器，这两个元件共同构成 4 号滤光器，使得它对 $\mathscr{R}$ 态光透明，但对 $\mathscr{L}$ 态光不透明。这是因为在 图4(a) 中，$\mathscr{R}$ 态光进入到四分之一波片之后变成了 $+45^\circ\mathscr{P}$ 态光，因此可以透过 $+45^\circ$ 线偏振器；反之，在 图4(b) 中，$\mathscr{L}$ 态光进入到四分之一波片之后变成了 $-45^\circ\mathscr{P}$ 态光（ $+135^\circ\mathscr{P}$ 态光），因此无法透过 $+45^\circ$ 线偏振器。

四分之一波片对辐照度没有任何影响，它只是改变了 $\boldsymbol{E}_x$ 和 $\boldsymbol{E}_y$ 的相位差而已，使得 $\boldsymbol{E}_x$ 比 $\boldsymbol{E}_y$ 超前 $\pi/2$ ，因此出射四分之一波片的光相位差为 $\left( \varepsilon - \pi/2 \right)$ 。这样的一束光再透过 $+45^\circ$ 线偏振器，情况就和推导 $\mathcal{S}_2$ 时的一模一样了，只不过相位从 $\varepsilon$ 变成了 $\left( \varepsilon - \pi/2 \right)$ ，即 $\cos\left( \varepsilon \right)$ 变成了 $\cos\left( \varepsilon - \pi/2 \right) = \sin\left( \varepsilon \right)$ 。这样一来，由 式23 得 Stokes 参量的第四项为

至此，准单色光的 Stokes 参量全部推导完毕。

若是入射光不是准单色光，而是理想单色光，则 $E_{0x},E_{0y},\varepsilon$ 对时间是常数，因此直接把 $\langle\ \ \rangle _\mathrm{T}$ 拿掉即可。

若我们对已经拿掉了 $\langle\ \ \rangle _\mathrm{T}$ 的 式25 做如下处理：对 $\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$ 求平方和，可以发现在理想单色光下，有

记住 式26 的结论，这个式子确定了 Poincare 球（下面会作解释）。对于部分偏振光，因为 $\mathcal{S}_0^2$ 除了三个偏振态的总辐照度之外，还包含了杂乱的自然光的辐照度，所以有 $\mathcal{S}_0^2 > \mathcal{S}_1^2+\mathcal{S}_2^2+\mathcal{S}_3^2$ ，则部分偏振光的偏振度为

例如，一个辐照度为 $1$ 的竖直 $\mathscr{P}$ 态光 $\langle 1,-1,0,0 \rangle$ 与一束辐照度为 $2$ 的 $\mathscr{R}$ 态光 $\langle 2,0,0,2 \rangle$ 相加，得到的合成波的 Stokes 矢量为 $\langle 3,-1,0,2 \rangle$ ，其偏振度为 $\sqrt{5}/3$ 。必须要注意的是，此处不应该用 $\displaystyle V = \frac{\mathcal{S}_1^2+\mathcal{S}_2^2+\mathcal{S}_3^2}{\mathcal{S}_0^2}$ 来代表偏振度，是因为偏振度 $V$ 是用辐照度来定义的，而不是用辐照度的平方。若使用辐照度的平方来定义偏振度，那偏振度就不再是线性的了，这在实际应用中是不合适的。

最后，更常见的操作是把 Stokes 矢量归一化，即将 Stokes 参量的第一项 $\mathcal{S}_0$ 变成 $1$ ，其余参量等比例地缩放，从而不改变 Stokes 矢量代表的偏振态。也就是说，从 $\langle \mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3 \rangle$ 变成 $\displaystyle\bigg\langle 1,\frac{\mathcal{S}_1}{\mathcal{S}_0},\frac{\mathcal{S}_2}{\mathcal{S}_0},\frac{\mathcal{S}_3}{\mathcal{S}_0} \bigg\rangle$ ，这在某些情况下十分方便。

用 Poincare 球表示的 Stokes 参量

刚才提到过理想单色光下有 式26 的结论。一个很有趣的想法是，若把 $\mathcal{S}_0^2 = \mathcal{S}_1^2+\mathcal{S}_2^2+\mathcal{S}_3^2$ 中的 $\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$ 看作三维直角坐标系中 $x,y,z$ 上的三个坐标值，则 式26 可以确定这三个坐标处的矢量 $\boldsymbol{\mathcal{S}}_0$ 的模长是多少，如 图5 所示。注意，此处我们研究的理想单色入射光的总辐照度 $\mathcal{S}_0$ 为一个定值，因此矢量 $\boldsymbol{\mathcal{S}}_0$ 转动时划过的区域确定了一个球面，这个球面叫做 Poincare 球。我们再规定 $2\psi$ 和 $2\chi$ 为确定矢量 $\boldsymbol{\mathcal{S}}_0$ 的两个方位角，此处使用 $2\psi,2\chi$ 而不是 $\psi,\chi$ 自然有它的道理，我们在后面就可以看到它的方便之处。

根据 Stokes 矢量的定义，完全线偏振入射光的 Stokes 矢量为 $\langle \mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,0 \rangle$ ，也就是说入射光的电场只包含水平、竖直、$+45^\circ$ 和 $-45^\circ$ 偏振态的线性组合，并不包含圆偏振光，此时由 式26 ，满足 $\mathcal{S}_0^2 = \mathcal{S}_1^2+\mathcal{S}_2^2$ ，这正好是球面上水平赤道（ $2\chi = 0$ ）处所有点的集合。由此得出结论：赤道上（ $2\chi = 0$ ）的任一点代表不同振动方向的线偏振光。进一步可以发现：

1. $2\psi = 0$（ $\psi = 0$ ）处，即赤道上 $x$ 轴正方向的点代表完全水平偏振（ $\mathcal{S}_1 > 0,\mathcal{S}_2 = 0$ ）；
2. $2\psi = \pm 180^\circ$（ $\psi = \pm 90^\circ$ ）处，即赤道上 $x$ 轴负方向的点代表完全竖直偏振（ $\mathcal{S}_1 < 0,\mathcal{S}_2 = 0$ ）；
3. $2\psi = +90^\circ$（ $\psi = +45^\circ$ ）处，即赤道上 $y$ 轴正方向的点代表完全 $+45^\circ$ 偏振（ $\mathcal{S}_1 = 0,\mathcal{S}_2 > 0$ ）；
4. $2\psi = -90^\circ$（ $\psi = -45^\circ$ ）处，即赤道上 $y$ 轴负方向的点代表完全 $-45^\circ$ 偏振（ $\mathcal{S}_1 = 0,\mathcal{S}_2 < 0$ ）。

注意到 $\psi$ 与偏振光的取向完全重合了。比如偏振光是 $+45^\circ$ 的 $\mathscr{P}$ 态，则 $\psi = +45^\circ$ 。这就是为什么方位角定义为 $2\psi$ 而不是 $\psi$ ，$\psi$ 正好就是线偏振光的角度，这是十分方便的。

在引言中有提到过：一束椭圆偏振光（ $\mathscr{E}$ 态光）由一束线偏振光（ $\mathscr{P}$ 态光）和圆偏振光组合而成，椭圆的长轴在 $\mathscr{P}$ 态光振动的方向。具体一点，右旋 $\mathscr{E}$ 态光由 $\mathscr{P}$ 态光和 $\mathscr{R}$ 态光组成，左旋 $\mathscr{E}$ 态光由 $\mathscr{P}$ 态光和 $\mathscr{L}$ 态光组成（其实在 Stokes 矢量这里，用引言的例子解释不太合适，后面会解释为什么）。刚才说过，给定了 $2\psi$ ，就可以确定 $\mathscr{P}$ 态光的方向。这时再令 $\mathcal{S}_3 \neq 0$ ，即 $2\chi \neq 0$ ，就确定了圆偏振光（不要忘了 $\mathcal{S}_3$ 代表入射光圆偏振部分的辐照度）。这样一来，在给定了 $2\psi$ 的情况下 $2\chi \neq 0$ ，就得到了 $\mathscr{E}$ 态光，这就是 Poincare 球上除了 $2\chi=0$（赤道）之外的所有点，此时 Stokes 矢量为 $\langle \mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3 \rangle$ 。进一步我们有：

1. $\mathcal{S}_3 > 0$ ，即 $2\chi > 0$（ $\chi > 0$ ），亦即除了赤道外北半球上的所有点，代表了右旋 $\mathscr{E}$ 态光；
2. $\mathcal{S}_3 < 0$ ，即 $2\chi < 0$（ $\chi < 0$ ），亦即除了赤道外南半球上的所有点，代表了左旋 $\mathscr{E}$ 态光；

特殊地，圆也属于椭圆（长轴和短轴等长的椭圆），即包含在南北半球中，则：

1. $\mathcal{S}_3 = +\mathcal{S}_0 > 0$ ，且 $2\chi = +90^\circ$（ $\chi = +45^\circ$ ），即北极点，代表了 $\mathscr{R}$ 态光（右圆光）；
2. $\mathcal{S}_3 = -\mathcal{S}_0 < 0$ ，且 $2\chi = -90^\circ$（ $\chi = -45^\circ$ ），即南极点，代表了 $\mathscr{L}$ 态光（左圆光）；

注意到 $\chi$ 与 $\boldsymbol{E_x}$ 和 $\boldsymbol{E_y}$ 的相位差 $\varepsilon = \varepsilon_y-\varepsilon_x$ 完全重合了。比如 $\mathscr{R}$ 态光（ $\chi = +45^\circ$ ）是由相位差 $\varepsilon = +45^\circ = +\pi/4$ 的 $\boldsymbol{E_x}$ 和 $\boldsymbol{E_y}$ 组成的；$\mathscr{L}$ 态光（ $\chi = -45^\circ$ ）是由相位差 $\varepsilon = -45^\circ = -\pi/4$ 的 $\boldsymbol{E_x}$ 和 $\boldsymbol{E_y}$ 组成的。就是为什么方位角定义为 $2\chi$ 而不是 $\chi$ ，$\chi$ 正好就是 $\boldsymbol{E_x}$ 和 $\boldsymbol{E_y}$ 的相位差 $\varepsilon$ ，这是十分方便的。另外，在入射光为完全圆偏振光的情况下，由于 $E_{0x} = E_{0y}$ ，因此 $\psi$ 取什么值也就不重要了（球面上南北极处 $\psi$ 不论取什么值都无所谓）。

综上所述，从一颗 Poincare 球的球面上可以找到一束理想单色光所有可能的偏振态。这下我们利用这些方位角所构成的几何关系（再仔细看看 图5 ），就很容易能写出 Stokes 四个参量 $\mathcal{S}_0,\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\mathcal{S}_3$

不论是 式25 还是 式28 ，都十分优雅、简洁、美观。至此，用 Poincare 球表示的理想单色光的 Stokes 参量全部推导完毕。

Mueller 矩阵

现在我们有了一束光的 Stokes 矢量，就可以对这束光添加偏振器件，以对其进行线性变换了。注意此处的都是理想偏振器件，例如一束光垂直地透过线偏振器，则不会有透光轴方向辐照度的损失（其实光线穿过一个实际的线偏振器时，两个正交分量的电场都要透过）。1943 年，Mueller 发明了一种矩阵（ Mueller 矩阵）来处理 Stokes 矢量，只需要对 Stokes 矢量左乘这个矩阵即可。例如，一束 $+45^\circ$ 的完全线偏振光 $\langle 1,0,1,0 \rangle$ 通过一个 $+45^\circ$ 线偏振片，则出射光的 Stokes 矢量为

这表明，线偏振方向平行于偏振器透光轴的入射光，出射偏振器的光偏振态不变。其中的 $\displaystyle\frac{1}{2}\left( \begin{smallmatrix} 1&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right)$ 代表 $+45^\circ$ 线偏振片。为了控制出射光 Stokes 矢量的总辐照度，振幅因子 $1/2$ 是必须的，若没有 $1/2$ ，出射光的 Stokes 矢量为 $\langle 2,0,2,0 \rangle$ ，即总能量翻倍，这明显不正确。再举一个例子，一个左圆光 $\langle 1,0,0,-1 \rangle$ 通过快轴水平的四分之一波片（ 图4(b) ），则出射光的 Stokes 矢量为

即出射快轴水平的四分之一波片的光为 $-45^\circ$ 线偏振光，这与 图4(b) 完全符合。其中的 $\displaystyle\left( \begin{smallmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&-1&0 \end{smallmatrix} \right)$ 代表快轴水平的四分之一波片，振幅因子为 $1$ 。

现在，本文将列出所有常见理想偏振器件的 Mueller 矩阵，见 图6 。

其中，$C = \cos\left( 2\alpha \right),S = \sin\left( 2\alpha \right)$ ，$\Delta\varphi$ 为推迟器的推迟量。图6(e) 和 图6(h) 分别给出了线偏振器和推迟器 Mueller 矩阵的一般形式。

当一束光线依次通过多个偏振器件，比如一束长轴在 $-45^\circ$ 方向的右旋 $\mathscr{E}$ 态部分偏振光，先通过快轴呈 $+45^\circ$ 的四分之一波片，Mueller 矩阵为 $\boldsymbol{M}_{\left[ \lambda/4\ \left( +45^\circ \right) \right]}$ ，再通过透光轴竖直的线偏振器，Mueller 矩阵为 $\boldsymbol{M}_{\left[ v \right]}$ ，则出射光为

这里一定要注意矩阵乘法的顺序，因为入射光 $\boldsymbol{\mathcal{S}}$ 先经过第一个器件改变了偏振态，出射光为 $\boldsymbol{M}_{\left[ \lambda/4\ \left( +45^\circ \right)\right]}\boldsymbol{\mathcal{S}}$ ，然后这束光再通过第二个器件，出射光为 $\boldsymbol{M}_{\left[ v \right]}\boldsymbol{M}_{\left[ \lambda/4\ \left( +45^\circ \right)\right]}\boldsymbol{\mathcal{S}}$ ，所以正确的顺序应该是 $\boldsymbol{M}_{\left[ v \right]}\boldsymbol{M}_{\left[ \lambda/4\ \left( +45^\circ \right)\right]}$ ，而不是 $\boldsymbol{M}_{\left[ \lambda/4\ \left( +45^\circ \right)\right]}\boldsymbol{M}_{\left[ v \right]}$ ，矩阵这样的性质称作 “不对易” 。我们当然可以先算 $\boldsymbol{M}_{\left[ \lambda/4\ \left( +45^\circ \right)\right]}\boldsymbol{\mathcal{S}}$ ，再左乘 $\boldsymbol{M}_{\left[ v \right]}$ 。不过我们也可以发现，若先把这两个器件看成一个整体，即先计算这些矩阵的乘积，再右乘这一束光 $\boldsymbol{\mathcal{S}}$ ，是非常方便的，这种操作不容易给计算上造成混乱。

其实笔者认为，在大量的甚至十几二十几个矩阵的乘积面前，纯手算简直是蠢货行为，这种事情还是交给计算机好了。

Jones 矢量与 Jones 矩阵

Jones 矢量

Jones 矢量作为 Stokes 矢量的补充，这是由美国物理学家 Jones 于 1941 年发明的。Jones 并不是从辐照度着手，而是从电场正交分量着手，这是和 Stokes 矢量不同的地方。

对 Jones 矢量的说明

对于完全偏振波，表示一种偏振态最自然的方法就是用电场矢量本身

其中 $E_x\left( t \right)$ 和 $E_y\left( t \right)$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴电场分量的大小。由于 $E_x = E_{0x}\cos\left[ \left( kz-\omega t \right)+\varepsilon_x \right],E_y = E_{0y}\cos\left[ \left( kz-\omega t \right)+\varepsilon_y \right]$ ，这时可以将 式32 改写为

这是一个复矢量，称作 Jones 矢量。其中的 $\varphi_x = \left( kz-\omega t \right)+\varepsilon_x,\varphi_y = \left( kz-\omega t \right)+\varepsilon_y$ ，为水平和竖直电场的相位。和 Stokes 矢量一样，Jones 矢量也可以拆解为不同偏振态的光之和，比如 $\tilde{\boldsymbol{E}} = \tilde{\boldsymbol{E}}_h+\tilde{\boldsymbol{E}}_v$ ，其中

$\tilde{\boldsymbol{E}}_h$ 和 $\tilde{\boldsymbol{E}}_v$ 分别是水平电场和竖直电场，则一束光由两个正交分量组成。有了 Jones 矢量，我们就可以描述任何一束完全偏振光的偏振态，例如当 $E_{0x}=E_{0y},\varphi_x = \varphi_y$ 时，式33 有

由于振幅相等，相位差为 $0$ ，因此这是 $+45^\circ$ 的 $\mathscr{P}$ 态。和 Stokes 矢量一样，式35 中的 $E_{0x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_x}$ 叫做振幅因子。另外，$E_{0x}$ 是振幅信息，代表偏振态振动得有多剧烈；$\varphi_x$ 是相位信息，代表偏振态振动的频率如何，还有计时零点是从哪里开始的。可以发现，无论 Jones 矩阵是否包含振幅和相位信息，都不影响其偏振方向为 $\left( \hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} \right)$ ，因此我们不妨把 Jones 矢量的大小（模长）归一化，这在某些情况下十分方便。由于 $\langle 1,1 \rangle$ 张成的是实空间，故直接对 式35 中的两个分量求平方和，得

这就是 Jones 矢量大小（模长）的平方，若要把 Jones 矢量归一化，只需要对 式35 除以 $\sqrt{2}E_{0x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_x}$ 即可，因此简化后的 Jones 矢量为

这就是 $+45^\circ\mathscr{P}$ 态光。

再举个例子，考虑一束 $\mathscr{R}$ 态光，则 $E_{0x}=E_{0y}$ ，且 $\varphi_y$ 要比 $\varphi_x$ 超前 $\pi/2$ ，又因为我们采用了 $\left( kz-\omega t \right)$ 的形式，所以 $\varphi_y=\varphi_x-\pi/2$（这里读者可能会迷惑：对于 “超前” 为什么反而要减去 $-\pi/2$ ，后面会进行解释）。将其代入 式33 ，得 Jones 矢量为

同样地，对 $\tilde{\boldsymbol{E}}_\mathscr{R}$ 归一化。和刚才的情况不同，此处 $\langle 1,-\mathrm{j} \rangle$ 张成的是复空间，因此 Jones 矢量的模长为 $\lvert \tilde{\boldsymbol{E}}_\mathscr{R} \rvert = \sqrt{\tilde{\boldsymbol{E}}_\mathscr{R}\tilde{\boldsymbol{E}}_\mathscr{R}^\ast}$ ，其中的 $\tilde{\boldsymbol{E}}_\mathscr{R}^\ast$ 为 $\tilde{\boldsymbol{E}}_\mathscr{R}$ 的共轭矢量（对复矢量的每个分量取共轭），因此

若要把 Jones 矢量归一化，只需要对 式38 除以 $\sqrt{2}E_{0x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_x}$ 即可，因此简化后的 Jones 矢量为

这就是 $\mathscr{R}$ 态光。这和 $+45^\circ\mathscr{P}$ 态光（ 式33 ）有所区别，$\langle 1,-\mathrm{j} \rangle$ 中的 $-\mathrm{j}$ 包含了 $x$ 方向电场 $\boldsymbol{E}_x$ 和 $y$ 方向电场 $\boldsymbol{E}_y$ 的相位差信息。

下面将列出一张表格（ 表1 ），给出光线常见偏振态的 Jones 矢量。

另外，对于一束与水平方向呈 $\vartheta$ 角度的线偏振光，其 Jones 矢量为 $\langle\cos\left( \vartheta \right),\sin\left( \vartheta \right)\rangle$ ，这并不违背直觉，而且很直观，也的确如此。如果是多个偏振态的叠加，例如：一束由频率相同的水平 $\mathscr{P}$ 态光和 $\mathscr{L}$ 态光叠加而成的左旋 $\mathscr{E}$ 态光（ 图1 ），其中，水平 $\mathscr{P}$ 态光的振幅因子为 $\left( 1-1/\sqrt{2} \right)$ 。若想要求出它的 Jones 矢量，便直接对 $\left( 1-1/\sqrt{2} \right)\cdot\langle 1,0 \rangle$ 与 $\langle 1,\mathrm{j} \rangle /\sqrt{2}$ 相加即可，即正交的对应分量相加，得到 $\langle 1,\mathrm{j}/\sqrt{2} \rangle$ 。另一方面，我们也可以直接把上述 $\mathscr{L}$ 态光的水平直径拉长 $\sqrt{2}$ 倍，也就是水平振幅变成原来的 $\sqrt{2}$ 倍，竖直直径不变，也可以得到 $\langle 1,\mathrm{j}/\sqrt{2} \rangle$ 。由此可见 Jones 矢量在实际应用中也是十分灵活的。

遗留的问题

现在我们要解决一个之前遗留的问题：为什么在电场相位为 $\left( kz-\omega t \right)$ 的形式下， $\boldsymbol{E}_y$ “超前” $\boldsymbol{E}_x$ 于 $\pi/2$ ，应该是 $\varphi_y-\varphi_x = -\pi/2$ 。

如 图7(a1) 所示，在 $\left( kz-\omega t \right)$ 的形式下，电场向右（ $z$ 轴正方向）传播。因此若我们在右面的某一点处看向光源，此时应该是线偏振光。请读者在脑中构建以下画面：我们在右面看向光源，波向着我们传来，此时我们看到了合电场 $\boldsymbol{E}$ 顺时针转动（ $\mathscr{R}$ 态），则需要在 图7(a1) 的基础上，令 $\boldsymbol{E}_y$ 图像向右平移 $\pi/2$ 个相位，得到 图7(a2) 。这对于正在看向光源的我们来说，$\boldsymbol{E}_y$ 比 $\boldsymbol{E}_x$ 更早一步到达我们的眼睛，即提前了 $\pi/2$ 。由于 $\boldsymbol{E}_y$ 图像向右平移相位 $\pi/2$ ，因此需要对 $\boldsymbol{E}_y$ 函数自变量减去 $\pi/2$ ，即加上 $-\pi/2$ 。这就是为什么在 $\left( kz-\omega t \right)$ 的形式下， $\varphi_y-\varphi_x = -\pi/2$ 代表 $\boldsymbol{E}_y$ 提前 $\boldsymbol{E}_x$ 于 $\pi/2$ 。

反之，如 图7(b1) 所示，若电场向左（ $z$ 轴负方向）传播，即在 $\left( \omega t-kz \right)$ 的形式下，在左面的某一点处看向光源的我们此时看到的是线偏振光。若我们依旧想要看到顺时针转动的电场（ $\mathscr{R}$ 态光），则和之前一样需要让 $\boldsymbol{E}_y$ 提前 $\pi/2$ 个相位进入我们的眼睛。此时需要令 $\boldsymbol{E}_y$ 图像向左平移 $\pi/2$ 个相位，得到 图7(b2) 。这就是为什么在 $\left( \omega t-kz \right)$ 的形式下， $\varphi_y-\varphi_x = \pi/2$ 代表 $\boldsymbol{E}_y$ 提前 $\boldsymbol{E}_x$ 于 $\pi/2$ 。

本文使用了 $\left( kz-\omega t \right)$ 的形式，所以直观理解起来可能会困难一些，但是在近代的著作于文献当中，比 $\left( \omega t-kz \right)$ 更加常用。在参看其他文献时，需要留意一下文中使用的时哪一种形式。

Jones 矩阵

理想偏振器的 Jones 矩阵

与用来处理 Stokes 矢量的 Mueller 矩阵一样，Jones 矩阵的用法和 Mueller 矩阵完全相同，只是用来处理 Jones 矢量罢了，此处不再过多赘述（也没必要）。下面将直接列出所有常见理想偏振器件的 Jones 矩阵，见 图8 。

其中，$c = \cos\left( \alpha \right),s = \sin\left( \alpha \right)$ ，$\Delta\varphi$ 为推迟器的推迟量。图8(e) 和 图8(h) 分别给出了线偏振器和推迟器 Jones 矩阵的一般形式。

旋光性

作为补充，在此讨论旋光性的 Jones 矩阵。当一束偏振光通过带有旋光性的物质时：比如扭转液晶、玉米糖浆，出射的偏振光会径向（以光传播的方向为轴）旋转某一角度。又或是由于 Faraday（法拉第 1791-1867）效应，$\mathrm{NaCl}$ 溶液可以使入射偏振光的电场逆时针偏转，电光 Kerr（克尔 1824-1907）效应可以使入射偏振光的电场在 $\mathrm{CHCl_3}$ 溶液中顺时针偏转。这些物质或是器件都可以使入射光的两个正交分量偏转一定角度 $\beta$ ，这就相当于入射光通过这些器件时，做了旋转的线性变换。

在引言中提到过，一个矢量 $\boldsymbol{\alpha}$ 做了线性变换 $\boldsymbol{M}$（记住，一个矩阵对应一个线性变换），则变换后的矢量为 $\boldsymbol{\alpha}^\prime = \boldsymbol{M\alpha}$ 。若设变换后的基底矢量分别落在了 $\boldsymbol{\hat{\imath}} = \langle \hat{\imath}_x,\hat{\imath}_y \rangle$ 和 $\boldsymbol{\hat{\jmath}} = \langle \hat{\jmath}_x,\hat{\jmath}_y \rangle$ 处，则该线性变换 $\boldsymbol{M}$ 为

现在考察如 图9 所示的线性变换。从图中可以看出，整个二维线性空间做了旋转线性变换（保持原点位置不变是线性变换的基本素养）。也就是说，图9(a) 中的任意一个矢量将随着整个空间 $xOy$ 顺时针转动 $\alpha$ ，最后落在 图9(b) 中 $x^\prime Oy^\prime$ 中的某处。由于我们想要求出该线性变换 $\boldsymbol{M}$ ，所以只考虑基底将如何变换，并求出变换后的基底矢量坐标 $\hat{\imath}_x,\hat{\imath}_y,\hat{\jmath}_x,\hat{\jmath}_y$ 即可。

根据 图9(b) 中的几何关系，不难得出 $\boldsymbol{\hat{\imath}} = \langle \cos\left( \alpha \right),\sin\left( \alpha \right) \rangle ,\boldsymbol{\hat{\jmath}} = \langle -\sin\left( \alpha \right),\cos\left( \alpha \right) \rangle$ 。若此线性变换为 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}\left( \alpha \right)$ ，则

式42 称作 “旋转矩阵”，它的作用正是使线性空间绕原点旋转。

这样一来，若想要对一束偏振光的电场逆时针旋转角度 $\beta$ ，只需要对这束光的 Jones 矢量左乘 $\boldsymbol{R}\left( \beta \right)$ 即可；如果是逆时针旋转角度 $\beta$ ，则左乘 $\boldsymbol{R}\left( -\beta \right)$ ，这正是具有旋光性的物质或器件该做的事。顺带一提，由于逆时针和顺时针刚好是相反的方向，也就是说一个矢量先逆时针旋转某一角度，再顺时针旋转同样的角度，刚好能回到原位，因此 $\boldsymbol{R}\left( \alpha \right)$ 和 $\boldsymbol{R}\left( -\alpha \right)$ 互为逆矩阵，即

记住这一点，这是非常方便的。

倾斜角为 $\alpha$ 的偏振器件

此处有必要说明 图8(e) 和 图8(h) 的由来。这两个偏振器件都与水平面有任意的夹角 $\alpha$ ，如果此时想要直接求出倾斜偏振器件的 Jones 矩阵，是相当困难且不直观的，所以我们不妨换一种思路。

如 图10(a) 所示，这是一个四分之一波片，它的快轴与水平面呈夹角 $\alpha$ ，也就是说快轴相对于入射光的 $\boldsymbol{E}_x$ 呈夹角 $\alpha$ ，我们现在要研究的正是这种情况。另一方面，图10(a) 也等价于 图10(b) ，相当于四分之一波片的快轴保持水平，入射光的 $\boldsymbol{E}_{x^\prime}$ 相对于波片快轴呈夹角 $-\alpha$ ，即入射光的 $\boldsymbol{E}$ 顺时针旋转了角度 $\alpha$ 。只要利用 图10(b) 把出射光的 Jones 矢量找到，最后把整体再转回来角度 $\alpha$ ，正是我们要的结果。具体操作如下。

设入射光的 Jones 矢量为 $\boldsymbol{j}$ ，则获得出射光的 Jones 矢量 $\boldsymbol{j}^\prime$ 一共分为三步：

1. 把入射光顺时针旋转 $\alpha$ ，则需要对 $\boldsymbol{j}$ 左乘旋转矩阵 $\boldsymbol{R}\left( -\alpha \right)$（ 式42 ），得到偏振光 $\boldsymbol{j}_1$

2. 让偏振光 $\boldsymbol{j}_1$ 通过快轴水平的四分之一波片，其 Jones 矩阵记为 $\boldsymbol{J}$（见 图8 ），得到偏振光 $\boldsymbol{j}_2$

3. 最后把偏振光 $\boldsymbol{j}_2$ 转回去，即对 $\boldsymbol{j}_2$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{R}\left( \alpha \right)$ ，得到最终的偏振光 $\boldsymbol{j}^\prime$

这样一来，我们就找到了快轴水平四分之一波片 $\boldsymbol{J}$ 逆时针旋转角度 $\alpha$ 后的 Jones 矩阵 $\boldsymbol{J}\left( \alpha \right)$ ，如 式47 所示。

作为较啰嗦却必要的补充，$\boldsymbol{J}\left( \alpha \right)$ 可以是任何的偏振器，图8 中任意角度的线偏振器和波片就是这样推导得到的。

至此，我们已对 Jones 方法做出了全部的解释。

Stokes-Mueller 处理方法与 Jones 处理方法的使用限制

在文章的最后，将对这二者的使用场景做些必要的补充。

首先是 Stokes 矢量。如果对两束光的 Stokes 矢量求和，即 $\boldsymbol{\mathcal{S}_1}+\boldsymbol{\mathcal{S}_2}$ ，只有当且仅当这两束光非相干（二者的相位差随时间变化）时，这样的操作才是被允许的。举个例子：现在有两束振幅相等，且在空间中重叠的水平 $\mathscr{P}$ 态光，二者的相位差保持 $\pi$ 不变，此时这二者的电场之和应每时每刻为 $0$ ，因此辐照度为 $0$（但这并不违背能量守恒，由于这些能量在干涉时被均匀地分散到了整个空间中，所以表现为辐照度为 $0$ ）。若我们写出这两束光的 Stokes 矢量为，$\boldsymbol{\mathcal{S}_1}=\boldsymbol{\mathcal{S}_2} = \langle 1,1,0,0 \rangle$ ，并进行求和，得到 $\langle 2,2,0,0 \rangle$ 。这样的结果是非常荒谬的，这就足以证明 Stokes 矢量对相干光不适用。其实这是由于 Stokes 矢量中并不包含任何相位信息导致的。

其次是 Jones 矢量，Jones 矢量只有对一束完全偏振光才适用。还记得我们利用 Stokes 矢量求出了一束光的偏振度 式27 ，因此 Stokes 矢量对部分偏振光也适用，这是因为 Stokes 参量中的第一项 $\mathcal{S}_0$ 中包含了非偏振光的信息。可是 Jones 矢量不行。不像 Stokes 矢量，由于 Jones 矢量代表的是电场的空间振幅，并且矢量中的两项还是正交的，再加上包含了相位信息 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}$ ，就注定了 Jones 矢量只适用于偏振光。

可能有的读者会想：在原子从激发态落回基态的时候释放出光子的频率数量级大约在 $10^9\mbox{次}/\mathrm{s}$ ，那岂不是这束相干长度极短的光在 $10^{-9}\mathrm{s}$ 这段极为短暂的时间内是完全偏振的吗。然而很遗憾的是，一束非偏振光的偏振态改变频率如此之快，以至于它在某一时刻的偏振态如何对我们已经完全没有用处了，这时我们只关心它的辐照度。在部分偏振光的情况下，偏振度 $V$ 要比某一时刻的偏振态有价值得多。

小结

以上就是本篇文章的全部内容，然而这并不是矩阵方法的全部。比如完全偏振光下 Jones 矢量和 Stokes 矢量间的转化，当然还有理想偏振器件的 Jones 矩阵和 Mueller 矩阵间的转化，另外还有非理想的偏振器件的矩阵描述，这些都相当有趣，却远远超出本文的范围。感兴趣的读者可以自行查阅相关资料。

参考文献 | References

1. Hecht E., “Optics, 5th ed.”, Pearson Education, New York, 2017.
2. 廖延彪, 《偏振光学》, 科学出版社, 北京, 2003.
3. Hecht E., "Node on an Operational Definition of the Stokes Parameters", Am. J. Phys. 38, 11569, Adelphi University, Garden City, New York 11530, 1970.
4. William S. Bickel and Wilbur M. Bailey, "Stokes Vectors, Mueller matrices, and polarized scattered light", Am. J. Phys. 53, 468, Physics Department, University of Arizona, Tucson, Arizona 85721, 1984.